Jacques Lacan - ¿Qué ocurre en matemática con el uso del formalismo? 8 de enero 1969

Libro 16 De otro Al otro : 1968-1969

Hacia una práctica lógica en psicoanálisis punto 2

Se ha dicho que el discurso matemático no tiene sentido y que nunca se

sabe si lo que se dice en él es verdad. Fórmula extrema, paradójica, que

repetía Kojeve, sin hacer más que retomarla de boca de Bertrand Russell,

que - recordemos - es uno de los iniciadores de la formalización lógica

de este discurso, es decir que ella no viene de afuera.

El formalismo en matemática es la tentativa de someter este discurso a

una prueba que podríamos definir en estos términos - asegurarse de que

luzca bien, es decir, que funcione sin el sujeto.

Para que lo perciban rápidamente quienes no 'entienden de inmediato lo

que designo allí, pregúntense quién hablaría alguna vez, en cuanto a lo que

se asegura como una construcción matemática, de una incidencia cualquiera

de lo que en otra parte se destaca como el observador. No hay en matemática

huella concebible de lo que se llama error subjetivo. Aun cuando

sea con la matemática como se montan los aparatos que permiten en otra

parte dar a este error subjetivo un sentido mensurable, ella no tiene nada

que ver con el discurso matemático mismo. Aun cuando este hable del error

subjetivo, no hay término medio - o los términos del discurso son exactos,

irrefutables, o no lo son. Tal es por lo menos su exigencia. Nada se

aceptará allí que no se imponga como tal.

Lo cierto es que sin embargo está el matemático. Como dije de inmediato,

formalizar este discurso consiste en asegurarse de que se sostiene

solo, aun completamente evaporado el matemático. Esto implica la construcción

de un lenguaje que es precisamente lo que se llama lógica matemática,

y que sería mejor llamar práctica de la lógica, o práctica lógica sobre

el campo matemático. La condición para realizar esta prueba se presenta

bajo una forma doble y que puede parecer antinómica.

Primera condición, un lenguaje sin equívoco. Acabo de recordarles el

carácter sin equívoco del discurso matemático. El lenguaje lógico no parece

tener más trabajo que el de reforzarlo, refinarlo.

Este sin equívoco concierne a algo que siempre se puede llamar objeto,

pero que no es cualquier objeto. Para ilustrar lo que quiero decir, vean cómo

Quine en su libro Palabra y objeto, al intentar salirse del campo de lamatemática

para extender la nueva práctica lógica al estudio del discurso común,

se cree obligado a referirse a lo que se llama lenguaje-objeto. Esto

no es más que satisfacer la condición de un lenguaje sin equívoco.

Es una excelente oportunidad para destacar que, por el contrario, forma parte

de la naturaleza del discurso fundamental no solo ser equívoco, sino estar

esencialmente hecho del deslizamiento, bajo todo discurso, de la significación.

Se trata de algo que destaco desde que comencé a referirme al lenguaje.

Así pues, la primera condición para este lenguaje es que sea sin equívoco.

Por supuesto, esto solo puede referirse a cierto objeto enfocado en matemática,

y no a un objeto como los demás. Por eso, desde que transfiere el

manejo de la lógica al discurso común, Quine habla de lenguaje-oh, deteniéndose

prudentemente en la primera sílaba.

La segunda condición es que este lenguaje debe ser pura escritura. Nada

de lo que le concierne debe constituir más que interpretaciones. Toda la

estructura - entiendo, lo que se podría atribuir al objeto - produce esta

escritura. Entonces, no hay nada de esta formalización que no se plantee

como interpretación. Al equívoco fundamental del discurso común se le

opone aquí la función del isomorfismo, que instituye cierto número de campos

que resultan capturados en una sola y misma fórmula escrita.

Se puede perfectamente entrar en la experiencia de lo que así se construyó

si uno se toma un poco de trabajo, como no creo indigno de mí hacerlo,

contrariamente a lo que parece suponer el artículo mencionado hace

un rato. Está al alcance de cada uno acercarse por ejemplo el teorema de

Godel siempre que se compre un buen libro o se acuda a los lugares indicados.

Nosotros estarnos en lo multidisciplinario, ¿no es cierto?, que es quizá

después de todo una exigencia que no salió de la nada, sino que surge

de percibir las dificultades expei;imentadas por lo que se llama impropiamente

la limitación mental. Los teoremas de Godel - porque son dos -

son por otra parte llamados "de limitación".

Estos conciernen al discurso aritmético, que es el que parece el más firme.

2 y 2 son cuatro, a pesar de todo, no hay mejor base. Naturalmente, no

nos quedamos ahí. Con el tiempo nos dimos cuenta de muchas cosas que

estaban, sin embargo, en apariencia en el estricto desarrollo de este 2 y 2

son 4. En otras palabras, en lo sucesivo se sostiene un discurso que, aparentemente,

es lo que se llama consistente.

La consistencia de un sistema significa que, cuando enuncian en él una

proposición, pueden decir sí o no, es admisible, es un teorema, como se

dice, del sistema, o bien, no lo es y es su negación la que lo es, si uno cree

que debe tomarse el trabajo de hacer teorema de todo lo que se plantea

allí como negativo. Este resultado se obtiene mediante una serie de procedimientos

sobre los cuales no se abrigan dudas, y que se llaman demostraciones.

El progreso de la práctica lógica ha permitido asegurar resultados inéditos,

pero solo gracias al uso de los procedimientos de formalización, que

consisten en hacer dos columnas, si puedo decir así. En una se pone lo que

se enuncia del discurso inaugural de la matemática y en la otra, el otro discurso,

que está sometido a la doble condición de perseguir el equívoco y

reducirse a una pura escritura. El discurso inaugural es ese en el que la

matemática ha hecho intrépidamente todos sus progresos, y, cosa curiosa,

sin tener que volver allí cada tanto anulando el saber adquirido generalmente

admitido en las épocas precedentes. En oposición a este, el segundo discurso

se destaca por el término metalenguaje, de manera muy impropia a

mi gusto, porque es solo un campo cerrado que una práctica aísla en lo que

es simplemente el lenguaje, el lenguaje mismo sin el cual el discurso ma-

temático no sería propiamente enunciable. No de manera menos impropia

se habla de lenguaje formal.

A partir de la distinción del discurso inaugural y del metalenguaje,

Godel muestra que la supuesta consistencia del sistema en apariencia más

seguro del campo matemático, el discurso aritmético, implica lo que lo limita,

a saber, la incompletud. Es decir que a partir de la hipótesis misma

de la consistencia, aparece en alguna parte una fórmula - y basta que haya

una para que haya otras - a la que no podrá responderse ni sí ni no, si se

pasa por los caminos de la demostración aceptada como ley del sistema.

Primer tiempo, primer teorema.

Segundo tiempo, segundo teorema. Aquí debo abreviar. No solo el sistema

aritmético no puede asegurar su consistencia por sí mismo más que

constituyendo su incompletud, sino que en la hipótesis incluso fundada de

su consistencia no puede demostrar esta consistencia en su propio interior.

Me costó algún trabajo transmitir aquí algo que no es, hablando con

propiedad, de nuestro campo, si definimos el campo psicoanalítico por no

sé qué aprehensión olfativa.

En el momento de decirles que no es, hablando con propiedad, de ... , la

frase implicaba terminar con de nuestro tema, 12 y ven en qué caigo - en

este punto vivo, a saber, que es impensable jugar en el campo psicoanalítico,

salvo para dar su estatuto correcto a lo que atañe al sujeto.

¿Qué encontramos en la experiencia de esta lógica matemática, sino

justamente este residuo donde se designa la presencia del sujeto? Por lo

menos, esto parece implicar un matemático, uno de los más grandes, ciertamente,

von Neumann, al reflexionar, sin duda un poco imprudentemente,

que las limitaciones - me refiero a las que son lógicamente sostenibles

-no son más que residuos de las matemáticas.

Von Neumann no apunta a ninguna antinomia, a ninguno de esos juegos

clásicos del espíritu que consisten en aprehender por ejemplo que el

término obsoleto es un término obsoleto y a especular a partir de allí sobre

los predicados que se aplican a ellos mismos y los que no lo hacen, con todo

lo que esto puede implicar como paradoja. No se trata de esto, sino de la

construcción de un límite.

Sin duda no se descubre nada en lógica que el propio discurso matemático

no haya descubierto, puesto que es en este campo de descubrimientos

12. En francés: sujet, que es tanto "tema" como "sujeto". [N. de la T.]

donde se pone a prueba el método. Solo se interroga al discurso matemático

sobre algo que es sin embargo esencial, a saber, hasta dónde puede dar

cuenta de sí mismo. Se podría decir hasta donde coincide con su propio

contenido, si estos términos tuvieran un sentido, si no fuera el campo por

excelencia donde la noción de contenido viene a ser, hablando con propiedad,

vaciada. Se presenta algo que tiene su -necesidad, su propia ananké,

sus rodeos necesarios, y que von Neumann refiere en suma que está muy

bien. Después de todo, esto prueba que los matemáticos están aún allí para

algo, les da un papel para desempeñar. En otras palabras, porque falta algo

en el discurso matemático entrará en juego el deseo del matemático.

Pues bien, creo sin embargo que von Neumann va un poco demasiado

lejos. En primer lugar, el término r~siduo es impropio. Lo que se revela aquí

de la función que ya mencioné desde distintos ángulos con el título de lo

imposible es de una estructura distinta de esa con la que tratamos en la caída

del objeto a. Más aún, para no ser menos estructural, lo que se revela

aquí de falta revela sin duda la presencia del sujeto, pero solo de ese sujeto

que hizo el corte, ese que separa el denominado metalenguaje de cierto

campo matemático - que es simplemente su discurso - de otro lenguaje

aislado, de un lenguaje de artificio, del lenguaje formal.

Esta operación de corte no es menos fecunda, puesto que revela propiedades

que son de la estofa misma del discurso matemático. No se ha terminado,

y no se terminará antes de cierto tiempo, de epilogar sobre el estatuto

de los números enteros, pero la cuestión del lugar, ontológico o no, de

estos números es totalmente ajena a la experiencia del discurso matemático

en la medida en que opera con ellos, , y que puede hacer esta doble ope

ración - uno, construirse y, dos, formalizarse.